1997 年考研数学（三） 第 7 题

看到「偶（奇）函数问另一侧导数符号」→ 记住每求一次导奇偶性翻转，奇函数两侧异号、偶函数两侧同号。坑：$f^{\prime }$ 是奇的，所以 $f^{\prime }$ 符号翻转；$f^{\prime \prime }$ 是偶的，符号不变。

本题考查偶函数导数的奇偶性：$f$ 偶 $\Rightarrow f^{\prime }$ 奇、$f^{\prime \prime }$ 偶，再由奇偶性把左半轴的符号搬到右半轴。

$f(x)$ 为偶函数，求导一次改变奇偶性：$f^{\prime }(x)$ 为奇函数，再求导：$f^{\prime \prime }(x)$ 为偶函数。

在 $(-\infty ,0)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$，$f^{\prime }$ 奇 $\Rightarrow$ 在 $(0,+\infty )$ 内 $f^{\prime }(x)=-f^{\prime }(-x)<0$；在 $(-\infty ,0)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)<0$，$f^{\prime \prime }$ 偶 $\Rightarrow$ 在 $(0,+\infty )$ 内 $f^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(-x)<0$。故 $f^{\prime }(x)<0,f^{\prime \prime }(x)<0$，选 C。