1997 年考研数学（三） 第 6 题

看到「比较两个无穷小的阶」→ 各自求最低次等价无穷小，比较幂次；变上限积分先用 $\sin t^2\sim t^2$ 再积。坑：$g$ 取最低次项 $x^5$（不是 $x^6$）；阶数高者为高阶无穷小。

本题考查无穷小的阶的比较：分别求出 $f$、$g$ 的最低次等价无穷小再比阶。 关键是把变上限积分 $f(x)$ 化成 $x$ 的幂。

当 $t\to 0$ 时 $\sin (t^2)\sim t^2$，故 $f(x)={\int }_0^{1-\cos x}\sin t^2\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{1-\cos x}{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3}(1-\cos x{)}^3$。又 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，故 $f(x)\sim \frac{1}{3}\cdot \frac{x^6}{8}=\frac{x^6}{24}$。

而 $g(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}\sim \frac{x^5}{5}$（取最低次项）。$f\sim \frac{x^6}{24}$ 是 $6$ 阶，$g\sim \frac{x^5}{5}$ 是 $5$ 阶，${\lim }_{x\to 0}\frac{f}{g}=0$，故 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，选 B。