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1997 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 3 分

设随机变量

X

和

Y

相互独立且都服从正态分布

N (0, 3^{2})

，而

X_{1}, \dots, X_{9}

和

Y_{1}, \dots, Y_{9}

分别是来自总体

X

和

Y

的简单随机样本，则统计量

U = \frac{X _{1} + \dots + X _{9}}{Y _{1}^{2} + \dots + Y _{9}^{2}}

服从 ______ 分布（2 分），参数为 ______（1 分）.

提示 1

回忆

t

分布定义：标准正态

\div χ^{2} (n) / n

，两者独立，自由度为

n

。

提示 2

分子

\sum_{i = 1}^{9} X_{i} \sim N (0, 9^{2})

，除以

9

化成

N (0, 1)

。

提示 3

分母把每个

Y_{i}

标准化：

\sum (Y_{i} /3)^{2} \sim χ^{2} (9)

；再把

U

配成

t

的标准形，约去系数即得

t (9)

。

答案与详解

答案 $t$ 分布；自由度（参数）为 $9$ ，即 $U \sim t (9)$

思路（为什么这么做）

看到「正态样本和

\div 平方和

」→ 配

t = \frac{N ( 0 , 1 )}{χ ^{2} ( n ) / n}

。坑：先各自标准化（

\sum X_{i}

方差是

9 \times 9

，

Y_{i}

除以

3

），自由度 = 平方和的项数

9

。

解答

本题考查 $t$ 分布的构造： $t = \frac{N ( 0 , 1 )}{χ ^{2} ( n ) / n}$ ，分子分母独立。 目标是把

U

凑成这个标准形。

分子：

X_{i} \sim N (0, 3^{2})

独立，故

X_{1} + \dots + X_{9} \sim N (0, 9 \cdot 9) = N (0, 9^{2})

，从而

\frac{1}{9} (X_{1} + \dots + X_{9}) \sim N (0, 1)

。

分母：

\frac{1}{3} Y_{i} \sim N (0, 1) (i = 1, \dots, 9)

，故

\frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} Y_{i}^{2} = \sum (\frac{Y _{i}}{3})^{2} \sim χ^{2} (9)

，且与分子独立。

于是

U = \frac{\frac{1}{9} \sum X _{i}}{( \frac{1}{9} \sum Y _{i}^{2} ) /9} \sim t (9)

。故

U

服从自由度为

9

的

t

分布。

考点：三大抽样分布（χ²、t、F）、正态总体样本均值与方差的分布

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