1997 年考研数学（三） 第 4 题

看到「二次型正定求参数」→ 写矩阵 $A$（交叉项系数减半），令顺序主子式全 $>0$。坑：$x_2{x}_3$ 系数 $t$ 进矩阵要写成 $t/2$，$|A|$ 算错常源于此。

本题考查用顺序主子式判定二次型正定。 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& \frac{t}{2}\\ 0& \frac{t}{2}& 1\end{array}\right)$（对角线为平方项系数，非对角为交叉项系数的一半）。

正定 $⟺$ 各阶顺序主子式全大于零：${\Delta }_1=2>0$，${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1>0$，${\Delta }_3=|A|>0$。

计算 $|A|=2\left(1-\frac{t^2}{4}\right)-1=1-\frac{t^2}{2}$。由 $1-\frac{t^2}{2}>0$ 得 $t^2<2$，即 $-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$。