1997 年考研数学（三） 第 3 题

看到「$y_{t+1}-y_t=$ 多项式×指数」→ 一阶差分方程，通解=齐次常数 $C$ + 待定系数特解 $(at+b){\lambda }^t$。坑：底数 $\lambda =2$ 不等于齐次特征根 $1$，故特解不必额外乘 $t$。

本题考查一阶常系数线性差分方程：通解 = 齐次通解 + 一个特解。 齐次方程 $y_{t+1}-y_t=0$ 的通解为 $y_t=C$（$C$ 为任意常数）。

自由项为 $t{2}^t$（多项式 $\times$ 指数，且底数 $2\ne 1$ 不是特征根），设特解 $y_0(t)=(at+b)2^t$。代入 $y_{t+1}-y_t=t{2}^t$：$[a(t+1)+b]2^{t+1}-(at+b)2^t=t{2}^t$，比较系数得 $a=1,b=-2$。

故特解 $y_0(t)=(t-2)2^t$，方程通解为 $y_t=C+(t-2)2^t$。