1997 年考研数学（三） 第 2 题

看到「$f(x)$ 表达式里含 ${\int }_0^{1}f$」→ 定积分是常数，设 $A={\int }_0^{1}f$，回代后两边积分得一次方程解 $A$。坑：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$ 用几何面积 $\frac{\pi }{4}$ 最快。

本题考查含定积分的函数方程：定积分是常数，设为未知量再回代。 令 $A={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$（常数），则 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+A\sqrt{1-x^2}$。

两边从 $0$ 到 $1$ 积分：$A={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x+A{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$。其中 ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$，${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}$（四分之一单位圆面积）。

于是 $A=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}A$，解得 $A\left(1-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}$，即 $A=\frac{\pi }{4-\pi }$。