1997 年考研数学（三） 第 1 题

看到「含 $f(\ln x)$、$e^{f(x)}$ 的乘积求 $\mathrm{d}y$」→ 乘积法则 + 链式法则，逐个因子求导。坑：$f^{\prime }(\ln x)$ 要再乘内层导数 $\frac{1}{x}$，别漏；两个 $f$ 的自变量不同不能混。

本题考查复合函数求导 + 乘积法则，最后写成微分 $\mathrm{d}y=y^{\prime }\mathrm{d}x$。 $y$ 是两个因子 $f(\ln x)$ 与 $e^{f(x)}$ 的乘积。

先求导：$y^{\prime }=[f(\ln x){]}^{\prime }{e}^{f(x)}+f(\ln x)[e^{f(x)}{]}^{\prime }$。其中 $[f(\ln x){]}^{\prime }=f^{\prime }(\ln x)\cdot \frac{1}{x}$，$[e^{f(x)}{]}^{\prime }=e^{f(x)}{f}^{\prime }(x)$。

于是 $y^{\prime }=\frac{e^{f(x)}}{x}{f}^{\prime }(\ln x)+f^{\prime }(x)f(\ln x)e^{f(x)}$，故 $\mathrm{d}y=\left[\frac{e^{f(x)}}{x}{f}^{\prime }(\ln x)+f^{\prime }(x)f(\ln x)e^{f(x)}\right]\mathrm{d}x$。