1997 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 6 分

游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第

5

分钟、

25

分钟和

55

分钟从底层起行。假设一游客在早晨八点的第

X

分钟到达底层候梯处，且

X

在

[0, 60]

上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

提示 1

X \sim U [0, 60]

，密度

\frac{1}{60}

；关键是把「等候时间」

Y

写成

X

的分段函数。

提示 2

按发车时刻

5, 25, 55

分四段，

55

分后要等下一整点的第

5

分钟即第

65

分钟，

Y = 65 - x

。

提示 3

E (Y) = \frac{1}{60} \sum \int (对应 Y) d x

，分段积分求和再除以

60

。

答案与详解

答案 $E (Y) = \frac{700}{60} = \frac{35}{3} \approx 11.67$ （分钟）

思路（为什么这么做）

看到「均匀到达 + 定点发车，求平均等待」→ 把等待时间写成到达时刻的分段函数，再

E (Y) = \int Y \cdot \frac{1}{60} d x

分段积分。坑：最后一段跨小时，等待到第

65

分钟（

65 - x

），别错写成

60 - x

。

解答

本题考查连续型随机变量函数的期望： $Y = g (X)$ ，用 $E (Y) = \int g (x) f (x) d x$ 。

X \sim U [0, 60]

，密度

f (x) = \frac{1}{60} (0 < x < 60)

。

按到达时刻确定下一班电梯，写出等候时间

Y

（发车时刻

5, 25, 55

，下一整点为第

65

分钟）：

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 5 - x, 25 - x, 55 - x, 65 - x, 0 < x \leq 5, 5 < x \leq 25, 25 < x \leq 55, 55 < x \leq 60.

于是

E (Y) = \frac{1}{60} [\int_{0}^{5} (5 - x) d x + \int_{5}^{25} (25 - x) d x + \int_{25}^{55} (55 - x) d x + \int_{55}^{60} (65 - x) d x]

。

四段积分依次为

12.5, 200, 450, 37.5

，合计

700

，故

E (Y) = \frac{700}{60} = \frac{35}{3} \approx 11.67

分钟。

1997 年考研数学（三） 第 20 题