1997 年考研数学（三） 第 19 题

看到「端点有概率质量 + 区间内按长度成比例」→ 混合型分布，$F$ 分段：离散点造成跳跃、区间内是线性（均匀）。坑：$-1\le x<1$ 段务必加上 $x=-1$ 处的点概率 $\frac{1}{8}$；用 $F(-1),F(1^{-})$ 的跳高自查。

本题考查既有离散点、又在区间上连续的「混合型」随机变量的分布函数。 关键：条件概率与区间长度成正比 $\Rightarrow$ 在 $(-1,1)$ 上是均匀的。

先求落在开区间的总概率：$P\{-1<X<1\}=1-P\{X=-1\}-P\{X=1\}=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$。由「条件概率 $\propto$ 子区间长度」，对 $-1<x<1$ 有 $P\{-1<X\le x\}=\frac{5}{8}\cdot \frac{x-(-1)}{1-(-1)}=\frac{5}{8}\cdot \frac{x+1}{2}$。

分段写 $F(x)=P\{X\le x\}$：当 $-1\le x<1$，$F(x)=P\{X=-1\}+P\{-1<X\le x\}=\frac{1}{8}+\frac{5}{8}\cdot \frac{x+1}{2}=\frac{5x+7}{16}$；当 $x<-1$，$F=0$；当 $x\ge 1$，$F=1$。

校验跳跃：$F(-1)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}=P\{X=-1\}$；$F(1^{-})=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，在 $x=1$ 处跳 $\frac{1}{4}$ 到 $1$，与 $P\{X=1\}=\frac{1}{4}$ 吻合。