1997 年考研数学（三） 第 18 题

看到「实对称矩阵已知部分特征值/向量，求剩余向量或 $A$」→ 用不同特征值特征向量正交解出缺的向量，再 $A=P\Lambda P^{-1}$。坑：正交是实对称专属，别用于一般矩阵；$A$ 必对称，可用来自查。

本题考查实对称矩阵的性质：不同特征值的特征向量相互正交，再由 $A=P\Lambda P^{-1}$ 反求 $A$。

（1） 设属于 $\lambda =3$ 的特征向量 ${\alpha }_3=(x_1,x_2,x_3{)}^T$。因 $A$ 实对称，${\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 正交：$\{\begin{array}{l}{\alpha }_1^T{\alpha }_3=-x_1-x_2+x_3=0\\ {\alpha }_2^T{\alpha }_3=x_1-2x_2-x_3=0\end{array}$。两式相加得 $-3x_2=0\Rightarrow x_2=0$，再得 $x_3=x_1$。基础解系 $(1,0,1{)}^T$，故 ${\alpha }_3=k(1,0,1{)}^T(k\ne 0)$。

（2） 取 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -1& -2& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$。

于是 $A=P\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)P^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}13& -2& 5\\ -2& 10& 2\\ 5& 2& 13\end{array}\right)$（该矩阵对称，与 $A$ 实对称吻合，可作验算）。