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1997 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 6 分

设

A

为

n

阶非奇异矩阵，

α

为

n

维列向量，

b

为常数。记分块矩阵

P = (E - α^{T} A^{*} O ∣ A ∣), Q = (A α^{T} α b),

其中

A^{*}

是矩阵

A

的伴随矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵。

（1）计算并化简

P Q

；
（2）证明：矩阵

Q

可逆的充分必要条件是

α^{T} A^{- 1} α \neq = b

。

提示 1

分块相乘时把

E, O, α, α^{T}, ∣ A ∣

当作块，逐块算四个位置。

提示 2

关键用伴随矩阵恒等式

A^{*} A = ∣ A ∣ E

（化左下块为

O

）与

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

（化右下块）。

提示 3

第（2）问对

∣ P Q ∣ = ∣ P ∣∣ Q ∣

取行列式：

P, P Q

都是分块三角，

∣ P ∣ = ∣ A ∣

，解出

∣ Q ∣ = ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α)

。

答案与详解

答案（1） $P Q = (A O α ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α))$ ；（2）证毕， $Q$ 可逆 $⟺ ∣ Q ∣ = ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α) \neq = 0 ⟺ α^{T} A^{- 1} α \neq = b$

思路（为什么这么做）

看到「含

A^{*}

的分块矩阵求

P Q

、判

Q

可逆」→ 分块乘法配合

A^{*} A = ∣ A ∣ E

、

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

；可逆性用行列式

∣ Q ∣ = ∣ P Q ∣/∣ P ∣

。坑：伴随恒等式方向别记反；分块三角行列式 = 对角块行列式之积。

解答

本题考查分块矩阵乘法 + 伴随矩阵性质 $A^{*} A = ∣ A ∣ E$ 、 $A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}$ ，以及分块（三角）行列式。

（1） 按分块乘法逐块算：左上

E A = A

；右上

E α = α

；左下

- α^{T} A^{*} A + ∣ A ∣ α^{T} = - ∣ A ∣ α^{T} + ∣ A ∣ α^{T} = O

（用

A^{*} A = ∣ A ∣ E

）；右下

- α^{T} A^{*} α + ∣ A ∣ b = - ∣ A ∣ α^{T} A^{- 1} α + ∣ A ∣ b = ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α)

（用

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

）。故

P Q = (A O α ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α))

。

（2） 取行列式：

P Q

为分块上三角，

∣ P Q ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α) = ∣ A ∣^{2} (b - α^{T} A^{- 1} α)

；而

P

为分块下三角，

∣ P ∣ = ∣ E ∣ \cdot ∣ A ∣ = ∣ A ∣

。

由

∣ P Q ∣ = ∣ P ∣ ∣ Q ∣

及

∣ P ∣ = ∣ A ∣ \neq = 0

（

A

非奇异），得

∣ Q ∣ = ∣ A ∣ (b - α^{T} A^{- 1} α)

。故

Q

可逆

⟺ ∣ Q ∣ \neq = 0 ⟺ b - α^{T} A^{- 1} α \neq = 0 ⟺ α^{T} A^{- 1} α \neq = b

。证毕。

考点：分块矩阵、伴随矩阵、行列式的计算

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