1997 年考研数学（三） 第 16 题

看到「$f(t)=\cdots +\iint (\text{含 }f)$ 的积分方程」→ 先化极坐标把二重积分变成单积分，再对 $t$ 求导转成 ODE。坑：变上限求导有链式因子（上限 $2t$ 要乘 $2$）；初值靠原方程代特殊值获取。

本题考查积分方程：二重积分化极坐标 → 变上限求导化为微分方程 → 解一阶线性 ODE。

化极坐标（被积函数只依赖 $\sqrt{x^2+y^2}$，区域是半径 $2t$ 的圆）：${\iint }_{x^2+y^2\le 4t^2}f\left(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2t}rf\left(\frac{r}{2}\right)\mathrm{d}r=2\pi {\int }_0^{2t}rf\left(\frac{r}{2}\right)\mathrm{d}r$。故 $f(t)=e^{4\pi t^2}+2\pi {\int }_0^{2t}rf\left(\frac{r}{2}\right)\mathrm{d}r$。

求导：两边对 $t$ 求导，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_0^{2t}rf(\frac{r}{2})\mathrm{d}r=2tf(t)\cdot 2$，得 $f^{\prime }(t)=8\pi t{e}^{4\pi t^2}+8\pi tf(t)$，即一阶线性方程 $f^{\prime }(t)-8\pi tf(t)=8\pi t{e}^{4\pi t^2}$。

求解：积分因子 $e^{-\int 8\pi t\mathrm{d}t}=e^{-4\pi t^2}$，$(f{e}^{-4\pi t^2}{)}^{\prime }=8\pi t$，积分得 $f{e}^{-4\pi t^2}=4\pi t^2+C$，即 $f(t)=(4\pi t^2+C)e^{4\pi t^2}$。由原方程令 $t=0$ 得 $f(0)=1$，故 $C=1$，$f(t)=(4\pi t^2+1)e^{4\pi t^2}$。