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1997 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 6 分

从点

P_{1} (1, 0)

作

x

轴的垂线，交抛物线

y = x^{2}

于点

Q_{1} (1, 1)

；再从

Q_{1}

作这条抛物线的切线与

x

轴交于

P_{2}

。然后又从

P_{2}

作

x

轴的垂线，交抛物线于点

Q_{2}

，依次重复上述过程得到一系列的点

P_{1}, Q_{1}; P_{2}, Q_{2}; \dots; P_{n}, Q_{n}; \dots

。

（1）求

\overline{O P_{n}}

；
（2）求级数

\overline{Q_{1} P_{1}} + \overline{Q_{2} P_{2}} + \dots + \overline{Q_{n} P_{n}} + \dots

的和，其中

n (n \geq 1)

为自然数，而

\overline{M_{1} M_{2}}

表示点

M_{1}

与

M_{2}

之间的距离。

提示 1

在

Q_{n} (a_{n}, a_{n}^{2})

处用

y^{'} = 2 x

写切线，令

y = 0

求与

x

轴交点

P_{n + 1}

的横坐标。

提示 2

得递推

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}

，

a_{1} = 1

，故

\overline{O P_{n}} = a_{n} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}

。

提示 3

P_{n}, Q_{n}

同横坐标，

\overline{Q_{n} P_{n}} = a_{n}^{2} = \frac{1}{4 ^{n - 1}}

；求和是公比

\frac{1}{4}

的等比级数

\frac{1}{1 - 1/4}

。

答案与详解

答案（1） $\overline{O P_{n}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ ；（2）级数和 $= \frac{4}{3}$

思路（为什么这么做）

看到「切线—垂线反复迭代 + 求距离之和」→ 用导数写切线得横坐标等比递推，距离化成等比级数用

\frac{a _{1}}{1 - q}

。坑：

\overline{Q_{n} P_{n}}

是竖直距离，等于

Q_{n}

纵坐标

a_{n}^{2}

，公比是

\frac{1}{4}

不是

\frac{1}{2}

。

解答

本题考查导数的几何意义（切线）建立递推 + 等比级数求和。 先由切线找

P_{n}

横坐标的递推。

（1） 抛物线

y = x^{2}

在

Q_{1} (1, 1)

处

y^{'} = 2

，切线

y - 1 = 2 (x - 1)

，令

y = 0

得

P_{2} (\frac{1}{2}, 0)

，

Q_{2} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2 ^{2}})

。一般地，设

P_{n}

横坐标

a_{n}

，

Q_{n} (a_{n}, a_{n}^{2})

处切线

y - a_{n}^{2} = 2 a_{n} (x - a_{n})

，令

y = 0

得

P_{n + 1}

横坐标

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}

。由

a_{1} = 1

得

a_{n} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}

，即

\overline{O P_{n}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}

。

（2）

P_{n}

与

Q_{n}

横坐标相同，故

\overline{Q_{n} P_{n}}

等于

Q_{n}

的纵坐标

a_{n}^{2} = (\frac{1}{2 ^{n - 1}})^{2} = \frac{1}{2 ^{2 n - 2}} = (\overline{O P_{n}})^{2}

。

于是级数

n = 1 \sum \infty \overline{Q_{n} P_{n}} = n = 1 \sum \infty (\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

（首项

1

、公比

\frac{1}{4}

的等比级数）。

考点：常数项级数的概念与性质、导数应用：最值、渐近线、作图

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