1997 年考研数学（三） 第 14 题

看到「证 $F(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^x(\cdots )$ 连续且单调」→ 端点用洛必达验连续，内部求 $F^{\prime }$ 并用「被积函数单调放缩」证分子非负。坑：$x=0$ 单独验；单调不减用 $t\le x\Rightarrow t^{n}f(t)\le x^{n}f(x)$ 的积分估计。

本题考查变上限积分求导 + 积分不等式估计。 分两步：先证 $x=0$ 处连续，再证 $x>0$ 时 $F^{\prime }(x)\ge 0$。

连续性（只需查 $x=0$）：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t}{x}$ 是 $\frac{0}{0}$ 型，洛必达（分子按变上限求导）得 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{n}f(x)=0$（因 $n>0$，$f$ 连续）$=F(0)$。故 $F$ 在 $x=0$ 处连续，从而在 $[0,+\infty )$ 上连续。

单调性：$x>0$ 时用商的求导法 $F^{\prime }(x)=\frac{x\cdot x^{n}f(x)-{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t}{x^2}=\frac{x^{n+1}f(x)-{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t}{x^2}$。

由 $f$ 单调不减且 $f(0)\ge 0$，知 $x\ge 0$ 时 $f(x)\ge 0$。对 $t\in [0,x]$ 有 $t^n\le x^n$、$f(t)\le f(x)$（均非负），故 $t^{n}f(t)\le x^{n}f(x)$，积分得 ${\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t\le x^{n+1}f(x)$。于是分子 $\ge 0$，$F^{\prime }(x)\ge 0$，$F$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调不减。证毕。