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1997 年考研数学（三） 第 13 题
解答题 · 6 分
一商家销售某种商品的价格满足关系 （万元／吨）， 为销售量（单位：吨），商品的成本函数是 （万元）。
（1）若每销售一吨商品，政府要征税 （万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（2） 为何值时，政府税收总额最大。
（1）若每销售一吨商品，政府要征税 （万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（2） 为何值时，政府税收总额最大。
提示 1
利润 = 收益 − 成本 − 税收，即 ，先把 写成 的函数（ 当参数）。提示 2
对 求导令其为零解出最优销量 ，二阶导 验证为最大。提示 3
第（2）问把该销量代回 ，得 ，再对 求导求最大值点。答案与详解
答案 （1）销售量 吨时利润最大；（2）（万元／吨）时政府税收总额最大
思路（为什么这么做）
看到「征税 、求最大利润销量 / 使税收最大的税率」→ 分两层优化：先对 max 利润得 ，再把 对 max。坑：利润里税收项 别漏；两步都要二阶导判最大。
解答
本题考查导数的经济应用——利润最大化。 设政府征税总额 （税率 × 销量 ）。收益 。
（1） 利润 。令 ，得 。又 ，故此销量使利润最大。
（2） 把最优销量代入税收：。令 ，得 。又 ，故 时政府税收总额最大（此时 吨， 万元）。
（1） 利润 。令 ，得 。又 ，故此销量使利润最大。
（2） 把最优销量代入税收：。令 ，得 。又 ，故 时政府税收总额最大（此时 吨， 万元）。