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1997 年考研数学（三）第 12 题

解答题 · 5 分

设

u = f (x, y, z)

有连续偏导数，

y = y (x)

和

z = z (x)

分别由方程

e^{x y} - y = 0

和

e^{z} - x z = 0

所确定，求

\frac{d u}{d x}

。

提示 1

u = f (x, y (x), z (x))

对

x

全导：

\frac{d u}{d x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \frac{d y}{d x} + f_{3}^{'} \frac{d z}{d x}

。

提示 2

对隐函数方程两边直接对

x

求导解出

\frac{d y}{d x}

、

\frac{d z}{d x}

（注意

y, z

都是

x

的函数）。

提示 3

利用原方程

e^{x y} = y

、

e^{z} = x z

回代，把含指数的分式化简成只含

x, y, z

的形式。

答案与详解

答案 $\frac{d u}{d x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \cdot \frac{y ^{2}}{1 - x y} + f_{3}^{'} \cdot \frac{z}{x z - x}$ （ $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}, f_{3}^{'}$ 为 $f$ 对第 1、2、3 个变量的偏导）

思路（为什么这么做）

看到「

u = f (x, y, z)

而

y, z

由方程隐定，求

\frac{d u}{d x}

」→ 先写全导数链式，再对每个隐方程求导解

y^{'}, z^{'}

。坑：结果用原方程回代化简（

e^{x y} = y

、

e^{z} = x z

）才是最简。

解答

本题考查多元复合函数的全导数 + 隐函数求导。

u = f (x, y (x), z (x))

是

x

的一元函数，链式法则给出

\frac{d u}{d x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \frac{d y}{d x} + f_{3}^{'} \frac{d z}{d x}

。

求

\frac{d y}{d x}

：

e^{x y} - y = 0

两边对

x

求导，

e^{x y} (y + x \frac{d y}{d x}) - \frac{d y}{d x} = 0

，解得

\frac{d y}{d x} = \frac{y e ^{x y}}{1 - x e ^{x y}}

。由方程

e^{x y} = y

代入化简得

\frac{d y}{d x} = \frac{y ^{2}}{1 - x y}

。

求

\frac{d z}{d x}

：

e^{z} - x z = 0

两边对

x

求导，

e^{z} \frac{d z}{d x} - z - x \frac{d z}{d x} = 0

，解得

\frac{d z}{d x} = \frac{z}{e ^{z} - x}

。由

e^{z} = x z

代入得

\frac{d z}{d x} = \frac{z}{x z - x}

。

代回：

\frac{d u}{d x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \cdot \frac{y ^{2}}{1 - x y} + f_{3}^{'} \cdot \frac{z}{x z - x}

。

考点：多元复合函数求导法则、多元隐函数求导

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