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1997 年考研数学（三）第 11 题

解答题 · 6 分

在经济学中，称函数

Q (x) = A [δ K^{- x} + (1 - δ) L^{- x}]^{- \frac{1}{x}}

为固定替代弹性生产函数，而称函数

\overset{ˉ}{Q} = A K^{δ} L^{1 - δ}

为 Cobb-Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数）。试证明：当

x \to 0

时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有

x \to 0 lim Q (x) = \overset{ˉ}{Q}

。

提示 1

先看底数极限：

K^{- x}, L^{- x} \to 1

，方括号

\to 1

，指数

- \frac{1}{x} \to \infty

，是

1^{\infty}

型。

提示 2

用

u^{v} = e^{v l n u}

或凑

[1 + (B - 1)]^{1/ (B - 1)} \to e

，把极限转成求指数

- lim \frac{B - 1}{x}

。

提示 3

lim \frac{δ K ^{- x} + ( 1 - δ ) L ^{- x} - 1}{x}

是

\frac{0}{0}

，洛必达（对

x

求导，

\frac{d}{d x} K^{- x} = - K^{- x} ln K

）得

- ln (K^{δ} L^{1 - δ})

。

答案与详解

答案证毕： $x \to 0 lim Q (x) = A e^{l n (K^{δ} L^{1 - δ})} = A K^{δ} L^{1 - δ} = \overset{ˉ}{Q}$

思路（为什么这么做）

看到「

[\dots]^{- 1/ x}

且

x \to 0

、方括号

\to 1

」→

1^{\infty}

型，写成

e^{- l i m \frac{B - 1}{x}}

再洛必达。坑：

\frac{d}{d x} a^{- x} = - a^{- x} ln a

，别把

ln

漏掉或符号弄反。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型幂指函数极限（第二重要极限的推广 $u^{v} = e^{v l n u}$ ）。 记

B (x) = δ K^{- x} + (1 - δ) L^{- x}

，当

x \to 0

时

K^{- x} \to 1, L^{- x} \to 1

，故

B (x) \to δ + (1 - δ) = 1

，

Q = A B (x)^{- 1/ x}

是

1^{\infty}

型。

凑第二重要极限：

x \to 0 lim Q (x) = A x \to 0 lim {[1 + (B - 1)]^{\frac{1}{B - 1}}}^{- \frac{B - 1}{x}} = A e^{- x \to 0 l i m \frac{B ( x ) - 1}{x}}

。

求指数上的极限（

\frac{0}{0}

型，洛必达对

x

求导）：

x \to 0 lim \frac{δ K ^{- x} + ( 1 - δ ) L ^{- x} - 1}{x} = x \to 0 lim [- δ K^{- x} ln K - (1 - δ) L^{- x} ln L] = - ln K^{δ} - ln L^{1 - δ} = - ln (K^{δ} L^{1 - δ})

。

代回：

x \to 0 lim Q (x) = A e^{l n (K^{δ} L^{1 - δ})} = A K^{δ} L^{1 - δ} = \overset{ˉ}{Q}

，证毕。

考点：两个重要极限、极限的计算方法综合、洛必达法则

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