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1997 年考研数学（三）第 21 题

解答题 · 6 分

两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为

5

的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间

T

的概率密度

f (t)

、数学期望和方差。

提示 1

两台「先坏先换」，总时间

T = X + Y

，

X, Y

独立同服从

E (5)

，写出各自密度

5 e^{- 5 x}

。

提示 2

求和的分布用

F (t) = \iint_{x + y \leq t} f_{X} f_{Y} d x d y

（或卷积），

t \geq 0

时积分得

1 - e^{- 5 t} - 5 t e^{- 5 t}

，求导得

f (t) = 25 t e^{- 5 t}

。

提示 3

期望方差可直接积分（借助

\int_{0}^{\infty} t^{k} e^{- t} d t = Γ (k + 1) = k!

），或用独立和

E (T) = E (X) + E (Y)

、

D (T) = D (X) + D (Y)

快速验证。

答案与详解

答案概率密度 $f (t) = {25 t e^{- 5 t}, 0, t > 0, t \leq 0;$ $E (T) = \frac{2}{5}, D (T) = \frac{2}{25}$

思路（为什么这么做）

看到「两独立指数时间之和的分布/数字特征」→

T = X + Y

用卷积或二维积分求密度（得

Γ

分布

λ^{2} t e^{- λ t}

）。坑：指数参数

λ = 5

时

E (X) = \frac{1}{λ} = \frac{1}{5}

；和的期望方差可用独立可加性自查。

解答

本题考查两独立指数分布之和的分布（可用卷积/二维积分），再求期望方差。 设

X, Y

为先后开动两台的无故障时间，

T = X + Y

，

X, Y \sim E (5)

独立，

f_{X} (x) = 5 e^{- 5 x} (x > 0)

，

f_{Y}

同理。

独立故联合密度

f (x, y) = 25 e^{- 5 (x + y)} (x > 0, y > 0)

。分布函数

F (t) = P {T \leq t} = \iint_{x + y \leq t} f d x d y

。当

t \geq 0

：

F (t) = 25 \int_{0}^{t} e^{- 5 x} d x \int_{0}^{t - x} e^{- 5 y} d y = 5 \int_{0}^{t} (e^{- 5 x} - e^{- 5 t}) d x = 1 - e^{- 5 t} - 5 t e^{- 5 t}

。

求导得概率密度

f (t) = F^{'} (t) = {25 t e^{- 5 t}, 0, t > 0, t \leq 0

（即参数

λ = 5, k = 2

的

Γ

分布）。

E (T) = \int_{0}^{\infty} t \cdot 25 t e^{- 5 t} d t = \frac{1}{5} Γ (3) = \frac{2}{5}

；

E (T^{2}) = \frac{1}{25} Γ (4) = \frac{6}{25}

，故

D (T) = E (T^{2}) - [E (T)]^{2} = \frac{6}{25} - \frac{4}{25} = \frac{2}{25}

。（也可由

T = X + Y

独立：

E = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}, D = \frac{1}{25} + \frac{1}{25}

，一致。）

考点：二维随机变量函数的分布、常见连续分布（均匀、指数、正态）、数学期望

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