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1994 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 11 分

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + a_{1} x_{2} + a_{1}^{2} x_{3} = a_{1}^{3}, x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{2}^{2} x_{3} = a_{2}^{3}, x_{1} + a_{3} x_{2} + a_{3}^{2} x_{3} = a_{3}^{3}, x_{1} + a_{4} x_{2} + a_{4}^{2} x_{3} = a_{4}^{3} .

(1) 证明：若

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}

两两不等，此线性方程组无解；
(2) 设

a_{1} = a_{3} = k, a_{2} = a_{4} = - k (k \neq = 0)

，且已知

β_{1} = - 1 11, β_{2} = 11 - 1

是该方程组的两个解，写出此方程组的通解。

提示 1

(1) 增广阵是范德蒙德矩阵，

a_{i}

两两不等时其行列式非零，

r (\overset{ˉ}{A}) = 4

，但系数阵只有

3

列

r (A) \leq 3

。

提示 2

秩不等（

r (A) < r (\overset{ˉ}{A})

）⟹ 无解。

提示 3

(2) 代入

a_{1} = a_{3} = k, a_{2} = a_{4} = - k

后方程重复，

r = 2

，自由度

1

；用「两个已知解之差」得基础解系

β_{2} - β_{1}

，通解 = 特解

+

c \cdot

基础解系。

答案与详解

答案 (1) 两两不等时 $r (A) = 3 < r (\overset{ˉ}{A}) = 4$ ，故无解；(2) 通解 $X = c 10 - 1 + - 1 11$ （ $c$ 为任意常数）

思路（为什么这么做）

系数含

1, a, a^{2}, a^{3}

的方程组 → 认出范德蒙德，用行列式判秩。非齐次通解 = 一个特解 + 导出组基础解系；「两个解之差

\in

齐次解空间」是求基础解系的捷径。坑：

4 \times 3

系数阵

r (A) \leq 3

，与

r (\overset{ˉ}{A}) = 4

不等即无解；

β_{2} - β_{1}

可约简后再用。

解答

本题考查用秩判无解（范德蒙德行列式）+ 非齐次解结构。 系数阵

A

是

4 \times 3

，增广阵

\overset{ˉ}{A}

是

4 \times 4

。

(1) 增广阵

\overset{ˉ}{A} = 1111 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{1}^{3} a_{2}^{3} a_{3}^{3} a_{4}^{3}

是范德蒙德行列式，

∣ \overset{ˉ}{A} ∣ = \prod_{1 \leq j < i \leq 4} (a_{i} - a_{j})

。当

a_{i}

两两不等时

∣ \overset{ˉ}{A} ∣ \neq = 0

，故

r (\overset{ˉ}{A}) = 4

；而

A

仅

3

列，

r (A) \leq 3

。于是

r (A) < r (\overset{ˉ}{A})

，方程组无解。

(2) 当

a_{1} = a_{3} = k, a_{2} = a_{4} = - k

时，四个方程只剩两个互异（第 1、3 相同，第 2、4 相同），可算得

r (A) = r (\overset{ˉ}{A}) = 2 < 3

，有解且自由度

= 3 - 2 = 1

。

两个解之差是导出组（齐次方程组）的解：

ξ = β_{2} - β_{1} = (2, 0, - 2)^{T}

，取其化简

(1, 0, - 1)^{T}

为基础解系；再取

β_{1}

为特解。故通解

X = c 10 - 1 + - 1 11

，

c

为任意常数。

考点：非齐次线性方程组解的结构、线性方程组解的判定、行列式的计算

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