1994 年考研数学（三） 第 16 题

证含 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$（即「割线斜率」）的单调性 → 求导后把分子设为辅助函数 $h(x)$，用 $h(a)=0$ + $h^{\prime }(x)>0$ 推 $h(x)>0$。坑：$h^{\prime }(x)$ 里 $f^{\prime }(x)$ 两项恰好抵消，只剩 $f^{\prime \prime }(x)(x-a)$，这正是用上 $f^{\prime \prime }>0$ 的地方。

本题考查用导数符号证单调，关键是构造辅助函数并利用 $f^{\prime \prime }>0$。 单调增等价于 $F^{\prime }(x)>0$，先算 $F^{\prime }(x)$。

由商的求导法则：$F^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]}{(x-a{)}^2}$。分母恒正，只需证分子 $>0$。

令 $h(x)=f^{\prime }(x)(x-a)-[f(x)-f(a)]$，则 $h(a)=0$；对 $x>a$，$h^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)(x-a)+f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)(x-a)>0$（因 $f^{\prime \prime }>0$、$x-a>0$）。

由 $h(a)=0$ 且 $h^{\prime }(x)>0(x>a)$，知 $h(x)>0(x>a)$。从而 $F^{\prime }(x)=\frac{h(x)}{(x-a{)}^2}>0$，故 $F(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 内单调增加。