1994 年考研数学（三） 第 15 题

「公共切线」→ 切点处两条件：值相等 + 导数相等，联立解参数与切点。旋转体体积用圆盘/垫圈法 $V=\pi \int (y_{\text{外}}^2-y_{\text{内}}^2)\mathrm{d}x$。坑：两曲线积分下限不同（$\frac{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}$ 从 $0$、$\ln \sqrt{x}$ 从 $1$ 起），$\int {\ln }^{2}x$ 要分部两次。

本题考查公共切线条件（切点处函数值、导数都相等）+ 旋转体体积。

(1) 由「切点处相切」列方程组：$\{\begin{array}{l}a\sqrt{x_0}=\ln \sqrt{x_0},\\ \frac{a}{2\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2x_0}.\end{array}$ 第二式给出 $a\sqrt{x_0}=1$；代入第一式得 $\ln \sqrt{x_0}=1$，即 $\frac{1}{2}\ln x_0=1\Rightarrow x_0={\mathrm{e}}^2$，从而 $a=\frac{1}{\sqrt{x_0}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$，$y_0=1$。故 $a=\frac{1}{\mathrm{e}},(x_0,y_0)=({\mathrm{e}}^2,1)$。

(2) 区域：上边界 $y=\frac{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}$（过原点），下边界在 $[1,{\mathrm{e}}^2]$ 上为 $y=\ln \sqrt{x}$（$x=1$ 处过 $x$ 轴），在 $[0,1]$ 上为 $x$ 轴。绕 $x$ 轴旋转用圆盘/垫圈法：
$$V_x=\pi {\int }_0^{{\mathrm{e}}^2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}\right)}^2\mathrm{d}x-\pi {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}{\left(\ln \sqrt{x}\right)}^2\mathrm{d}x.$$

第一项 $=\frac{\pi }{{\mathrm{e}}^2}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^{{\mathrm{e}}^2}=\frac{\pi {\mathrm{e}}^2}{2}$；第二项 $\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$，${\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}{\ln }^{2}x\mathrm{d}x=[x{\ln }^{2}x-2x\ln x+2x{]}_1^{{\mathrm{e}}^2}=2{\mathrm{e}}^2-2$，故第二项 $=\frac{\pi }{4}(2{\mathrm{e}}^2-2)$。

$V_x=\frac{\pi {\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{\pi }{4}(2{\mathrm{e}}^2-2)=\frac{\pi {\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{\pi {\mathrm{e}}^2}{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$。