1994 年考研数学（三） 第 14 题

变限积分被积函数里含上限变量 $x$ → 先换元把 $x$ 挪到积分限，再洛必达。坑：换元 $u=x^n-t^n$ 时 $x$ 当常数，$t^{n-1}\mathrm{d}t=-\frac{1}{n}\mathrm{d}u$ 并交换上下限变号；收尾 $\frac{f(x^n)}{x^n}\to f^{\prime }(0)$ 用的是导数定义，必须有 $f(0)=0$。

本题考查变限积分换元化简 + 洛必达 + 导数定义。 积分号内含 $x$，先换元把 $x$ 从被积函数里「搬到」积分上限。

视 $x$ 为常数，令 $u=x^n-t^n$，则 $\mathrm{d}u=-n{t}^{n-1}\mathrm{d}t$，即 $t^{n-1}\mathrm{d}t=-\frac{1}{n}\mathrm{d}u$；$t=0\Rightarrow u=x^n$，$t=x\Rightarrow u=0$。于是
$$F(x)=-\frac{1}{n}{\int }_{x^n}^{0}f(u)\mathrm{d}u=\frac{1}{n}{\int }_0^{x^n}f(u)\mathrm{d}u.$$

代入极限（$\frac{0}{0}$ 型，洛必达；上限 $x^n$ 求导用变限积分求导法则）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}=\frac{1}{n}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^n}f(u)\mathrm{d}u}{x^{2n}}=\frac{1}{n}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x^n)\cdot n{x}^{n-1}}{2n{x}^{2n-1}}=\frac{1}{2n}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x^n)}{x^n}.$$

由 $f(0)=0$，$\frac{f(x^n)}{x^n}=\frac{f(x^n)-f(0)}{x^n-0}\to f^{\prime }(0)$，故极限 $=\frac{1}{2n}{f}^{\prime }(0)$。