1994 年考研数学（三） 第 13 题

求混合偏导 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ → 先求内层一阶偏导并「彻底化简」再求外层，能省大量计算。坑：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 里的分式两项别急着往下带，先合并成 $-y$，否则第二次求导会非常繁琐。

本题考查二阶混合偏导，含 $\arctan$ 的乘积求导。 先求 $\frac{\partial f}{\partial x}$，化简后再对 $y$ 求导。

对 $x$ 求偏导（$\frac{\partial }{\partial x}\arctan \frac{y}{x}=\frac{1}{1+(y/x{)}^2}\cdot (-\frac{y}{x^2})=-\frac{y}{x^2+y^2}$，$\frac{\partial }{\partial x}\arctan \frac{x}{y}=\frac{y}{x^2+y^2}$）：
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\arctan \frac{y}{x}-\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}-\frac{y^3}{x^2+y^2}=2x\arctan \frac{y}{x}-y.$$

注意后两项合并 $\frac{x^{2}y+y^3}{x^2+y^2}=\frac{y(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=y$，化简干净后再对 $y$ 求导。

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(2x\arctan \frac{y}{x}-y\right)=2x\cdot \frac{1}{1+(y/x{)}^2}\cdot \frac{1}{x}-1=\frac{2x^2}{x^2+y^2}-1=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$。