1994 年考研数学（三） 第 12 题

「先解常系数齐次 ODE 再积分」的复合题 → 特征方程定通解、初值定常数，得到显式 $y(x)$ 后再算反常积分。坑：$(\lambda +2{)}^2=0$ 是二重根，通解含 $x{\mathrm{e}}^{-2x}$；求 $y^{\prime }(0)$ 时别漏掉 $C_2{\mathrm{e}}^{-2x}$ 这一项。

本题考查二阶常系数齐次方程求解 + 反常积分。 先解出 $y(x)$，再对其在 $[0,+\infty )$ 上积分。

特征方程 ${\lambda }^2+4\lambda +4=0$，即 $(\lambda +2{)}^2=0$，得二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-2$，故通解 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}$。

代初值：$y(0)=C_1=2$；$y^{\prime }=(C_2-2C_1-2C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}$，$y^{\prime }(0)=C_2-2C_1=C_2-4=-4\Rightarrow C_2=0$。故 $y=2{\mathrm{e}}^{-2x}$。

${\int }_0^{+\infty }2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}}^{-2x}{|}_0^{+\infty }=0-(-1)=1$。