1994 年考研数学（三） 第 11 题

圆盘（尤其是圆心不在原点）上的二重积分 → 配方定圆心半径，再作「平移极坐标」把圆心挪到原点。坑：平移后 $x+y$ 要整体代换成 $1+r(\cos \theta +\sin \theta )$；含单个 $\sin \theta /\cos \theta$ 的项整周期积分为 $0$，可直接扔。

本题考查圆域上的二重积分，宜用「平移中心 + 极坐标」。 先配方看清积分区域是一个圆盘。

配方：$x^2+y^2\le x+y+1⟺{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{3}{2}$，即以 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 为心、半径 $\sqrt{3/2}$ 的圆盘。

作平移极坐标 $x=\frac{1}{2}+r\cos \theta ,y=\frac{1}{2}+r\sin \theta (0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le \sqrt{3/2})$，则 $x+y=1+r(\cos \theta +\sin \theta )$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。

${\iint }_D(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{3/2}}r[1+r(\cos \theta +\sin \theta )]\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta ={\int }_0^{2\pi }\left[\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}(\cos \theta +\sin \theta )\right]\mathrm{d}\theta$。

含 $\cos \theta +\sin \theta$ 的项在 $[0,2\pi ]$ 上积分为 $0$，故原积分 $=\frac{3}{4}\cdot 2\pi =\frac{3\pi }{2}$。