1994 年考研数学（三） 第 10 题

构造 $t(n-1)$ → 分子 $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$，分母卡方必须用「以 $\bar{X}$ 为中心」的 $\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$（自由度 $n-1$ 且与 $\bar{X}$ 独立）。坑：用 $\mu$ 为中心的 $S_3,S_4$ 自由度是 $n$，凑不出 $t(n-1)$；约 $\sigma$ 后系数要对上 $/\sqrt{n-1}$。

本题考查 $t$ 分布的构造：$t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(k)/k}}$，且分子分母独立。 关键是找出哪个 $S_i$ 能配出自由度 $n-1$ 的卡方，并与 $\bar{X}$ 独立。

由 $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ 得 $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$；又 $\frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}=\frac{n{S}_2^2}{{\sigma }^2}=\frac{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$，且与 $\bar{X}$ 独立。

构造 $t=\frac{(\bar{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})}{\sqrt{\frac{n{S}_2^2}{{\sigma }^2}/(n-1)}}\sim t(n-1)$。化简（$\sigma$ 约去）得 $t=\frac{\bar{X}-\mu }{S_2/\sqrt{n-1}}$，选 B。

注意 $S_3,S_4$ 用的是 $\sum (X_i-\mu {)}^2\sim {\sigma }^2{\chi }^2(n)$（自由度 $n$，且不与 $\bar{X}$ 独立配对成 $t(n-1)$），故排除 C、D；A 的分母系数错配。