1994 年考研数学（三） 第 9 题

涉及 $P(A\mid B)$、$P(\bar{A}\mid \bar{B})$ 的判定题 → 一律按定义展成 $\frac{P(AB)}{P(B)}$ 形式，目标凑 $P(AB)=P(A)P(B)$（独立）。速记：$P(A\mid B)=P(A\mid \bar{B})⟺A,B$ 独立。坑：独立 ≠ 互斥，别选「互不相容」。

本题考查条件概率化简与独立性判定。 把条件概率按定义展开，化简后看能否得到 $P(AB)=P(A)P(B)$。

由 $P(A\mid B)+P(\bar{A}\mid \bar{B})=1$，即 $\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{B})}=1$。用 $P(\bar{A}\bar{B})=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，$P(\bar{B})=1-P(B)$ 代入。

$\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}=1$，通分整理得 $P(AB)=P(A)P(B)$，故 $A,B$ 相互独立，选 D。

（速判：条件 $P(A\mid B)=1-P(\bar{A}\mid \bar{B})=P(A\mid \bar{B})$，即 $B$ 发生与否都不改变 $A$ 的概率，正是独立。）