1994 年考研数学（三） 第 8 题

「乘以可逆矩阵，秩不变」是必记结论。证法：正向 $r(\mathbf{AC})\le r(\mathbf{A})$，反向借 $\mathbf{A}=\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{-1}$ 得 $r(\mathbf{A})\le r(\mathbf{B})$，夹逼得等。坑：只有 $\mathbf{C}$ 可逆时才能反解，一般乘积只保证 $\le$。

本题考查「矩阵乘可逆阵秩不变」这一核心结论。 一般地 $r(\mathbf{A}\mathbf{C})\le r(\mathbf{A})$，而当 $\mathbf{C}$ 可逆时可以反向估计。

一方面 $r_1=r(\mathbf{B})=r(\mathbf{A}\mathbf{C})\le r(\mathbf{A})=r$。

另一方面 $\mathbf{C}$ 可逆，$\mathbf{A}=\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{-1}$，故 $r=r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{-1})\le r(\mathbf{B})=r_1$。两个不等式合起来得 $r=r_1$，选 C。