1994 年考研数学（三） 第 7 题

任意项级数问「绝对/条件收敛」→ 先攻绝对值级数。见到「两个平方可和的因子相乘」→ 用 $uv\le \frac{1}{2}(u^2+v^2)$ 拆成两个已知收敛的正项级数再比较。坑：$\sqrt{n^2+\lambda }$ 与 $n$ 同阶，$\sum \frac{1}{n^2+\lambda }$ 收敛（$p=2$），与 $\lambda$ 大小无关。

本题考查任意项级数的绝对收敛判定，核心工具是比较判别法 + 均值不等式放缩。 判断绝对收敛只需研究通项绝对值 $\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}$。

由基本不等式 $uv\le \frac{1}{2}(u^2+v^2)$ 得 $\left|(-1{)}^n\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}\right|=|a_n|\cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+\lambda }}\le \frac{1}{2}\left(a_n^2+\frac{1}{n^2+\lambda }\right)$。

因为 $\frac{1}{n^2+\lambda }\sim \frac{1}{n^2}$ 且 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故 $\sum \frac{1}{n^2+\lambda }$ 收敛；又 $\sum a_n^2$ 收敛，于是右端 $\sum \frac{1}{2}\left(a_n^2+\frac{1}{n^2+\lambda }\right)$ 收敛。

由比较判别法，$\sum \frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}$ 收敛，即原级数绝对收敛，选 C。（与 $\lambda >0$ 的具体取值无关。）