1994 年考研数学（三） 第 6 题

求渐近线要「水平 + 铅直」都查全。含 $\arctan$ 的因子有界（不会自己产生铅直渐近线），真正的爆破点来自 ${\mathrm{e}}^{1/x^2}$ 在 $x=0$。坑：分母零点未必是铅直渐近线——$\arctan$ 有界会把它「压」成有限跳跃，必须算左右极限确认。

本题考查渐近线的完整判定：水平、铅直都要逐一验。 可疑的铅直点是使 ${\mathrm{e}}^{1/x^2}$ 或分式分母出问题的 $x=0,-1,2$。

水平渐近线：$x\to \infty$ 时 ${\mathrm{e}}^{1/x^2}\to 1$，$\frac{x^2+x-1}{(x+1)(x-2)}\to 1$，故 $y\to \arctan 1=\frac{\pi }{4}$，得水平渐近线 $y=\frac{\pi }{4}$（$1$ 条）。

铅直可疑点 $x=-1$：$y(-1^{-})=-\frac{\pi \mathrm{e}}{2}$，$y(-1^{+})=\frac{\pi \mathrm{e}}{2}$，左右极限均有限，不是铅直渐近线；$x=2$ 同理 $y(2^{\mp })=\mp \frac{\pi }{2}{\mathrm{e}}^{1/4}$ 也有限，不是。

$x=0$：${\mathrm{e}}^{1/x^2}\to +\infty$，而 $\arctan \frac{-1}{-2}=\arctan \frac{1}{2}>0$，故 $y\to +\infty$，$x=0$ 是铅直渐近线（$1$ 条）。合计 $2$ 条，选 B。（注：官方解析此处写 $-\infty$ 为笔误，极限实为 $+\infty$，不影响结论。）