1994 年考研数学（三） 第 5 题

「$n$ 次独立重复观察中事件出现的次数」→ 二项分布 $B(n,p)$，其中 $p$ 由密度积分求出。坑：先用密度算 $p=P\{X\le \frac{1}{2}\}$，别把连续变量 $X$ 直接当离散来数。

本题考查由连续型密度求事件概率，再用二项分布。 先求单次观察中事件 $\{X\le \frac{1}{2}\}$ 的概率 $p$，则三次独立重复中出现次数 $Y\sim B(3,p)$。

$p=P\left\{X\le \frac{1}{2}\right\}={\int }_0^{1/2}2x\mathrm{d}x=x^2{|}_0^{1/2}=\frac{1}{4}$。

故 $Y\sim B\left(3,\frac{1}{4}\right)$，$P\{Y=2\}={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\left(\frac{3}{4}\right)=3\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{64}$。