1994 年考研数学（三） 第 4 题

非零元排成「反对角」的矩阵求逆 → 分块成 $\left(\begin{array}{cc}0& \mathbf{C}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right)$，逆是 $\left(\begin{array}{cc}0& {\mathbf{B}}^{-1}\\ {\mathbf{C}}^{-1}& 0\end{array}\right)$（对角块互换位置再各自求逆）。坑：$\mathbf{B}$、$\mathbf{C}$ 的逆在结果里位置对调，别写反。

本题考查分块（反对角）矩阵求逆。 $\mathbf{A}$ 的非零元排成「反对角带」，可按前 $n-1$ 行与末行、首列与末 $n-1$ 列分块。

令 $\mathbf{B}=(a_n)$（$1\times 1$），$\mathbf{C}=\mathrm{diag}(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1})$（$(n-1)$ 阶对角阵），则 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& \mathbf{C}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right)$。

反对角分块阵的逆为 ${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathbf{B}}^{-1}\\ {\mathbf{C}}^{-1}& 0\end{array}\right)$，其中 ${\mathbf{B}}^{-1}=(a_n^{-1})$，${\mathbf{C}}^{-1}=\mathrm{diag}(a_1^{-1},\cdots ,a_{n-1}^{-1})$，代入即得答案。