1994 年考研数学（三） 第 3 题

方程「隐式给出 $y=y(x)$」求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ → 两边对 $x$ 求导，凡 $y$ 都带 $y^{\prime }$，再解一次方程。坑：${\mathrm{e}}^{xy}$ 里 $(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }$，别漏乘积求导那一项。

本题考查隐函数求导。 方程两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，${\mathrm{e}}^{xy}$ 用复合函数求导、$y^2$ 用链式法则。

两边对 $x$ 求导：${\mathrm{e}}^{xy}(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\sin x$。

把含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项归并解出：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{\sin x+y{\mathrm{e}}^{xy}}{x{\mathrm{e}}^{xy}+2y}$。