1994 年考研数学（三） 第 2 题

只给 $f^{\prime }(x_0)$、题里出现 $f(x_0+\square )$ 之差 → 用导数定义：每个 $f(x_0+\square )-f(x_0)$ 除以对应增量凑成差商。坑：增量是 $-2x$、$-x$，配分母时符号和系数别丢。

本题考查用导数定义处理差商极限。 分母是两个函数值之差，应各自凑成「以 $x_0$ 为基点的差商」，从而用 $f^{\prime }(x_0)$ 表示。

把分母改写为 $f(x_0-2x)-f(x_0-x)=[f(x_0-2x)-f(x_0)]-[f(x_0-x)-f(x_0)]$，于是
$$\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=\frac{1}{-2\cdot \frac{f(x_0-2x)-f(x_0)}{-2x}+\frac{f(x_0-x)-f(x_0)}{-x}}.$$

当 $x\to 0$ 时两个差商分别 $\to f^{\prime }(x_0)$，故原式 $=\frac{1}{-2f^{\prime }(x_0)+f^{\prime }(x_0)}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}=-\frac{1}{-1}=1$。