1994 年考研数学（三） 第 1 题

看到「对称区间 $[-a,a]$ + 含 $|x|$ 或明显奇偶结构」→ 先按奇偶拆项：奇的直接扔掉，偶的化成 $2{\int }_0^a$。坑：$|x|$ 在 $[0,2]$ 上才等于 $x$，别忘拆绝对值。

本题考查对称区间上定积分的奇偶性化简。 把被积函数拆成两部分：$\frac{x}{2+x^2}$ 是奇函数，$\frac{|x|}{2+x^2}$ 是偶函数。

奇函数在对称区间上积分为 $0$，故 ${\int }_{-2}^2\frac{x+|x|}{2+x^2}\mathrm{d}x={\int }_{-2}^2\frac{|x|}{2+x^2}\mathrm{d}x=2{\int }_0^2\frac{x}{2+x^2}\mathrm{d}x$。

凑微分：$2{\int }_0^2\frac{x}{2+x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^2\frac{\mathrm{d}(2+x^2)}{2+x^2}=\ln (2+x^2){|}_0^2=\ln 6-\ln 2=\ln 3$。