1994 年考研数学（三） 第 18 题

「有 $n$ 个线性无关特征向量」= 可对角化。含参矩阵可对角化的条件全压在「重根的几何重数 = 代数重数」上，即对 $k$ 重根 $\lambda$ 要 $r(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})=n-k$。坑：单根不用管，只需盯二重根 $\lambda =1$ 令 $r(\mathbf{E}-\mathbf{A})=1$。

本题考查「有 $n$ 个线性无关特征向量 ⟺ 可对角化」以及重根的几何重数条件。 先求特征值。

$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -1\\ -x& \lambda -1& -y\\ -1& 0& \lambda \end{array}\right|$，按第 2 列展开 $=(\lambda -1)({\lambda }^2-1)=(\lambda +1)(\lambda -1{)}^2$，得 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

$\mathbf{A}$ 有 $3$ 个线性无关特征向量 ⟺ 可对角化。单根 $\lambda =-1$ 自动配 $1$ 个特征向量；二重根 $\lambda =1$ 需几何重数 $=2$，即 $r(\mathbf{E}-\mathbf{A})=3-2=1$。

$\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -x& 0& -y\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& -x-y\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，要使秩为 $1$，须 $-x-y=0$，即 $x+y=0$。