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1992 年考研数学（三）第 21 题

解答题 · 5 分

一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为

0.10, 0.20

和

0.30

。假设各部件的状态相互独立，以

X

表示同时需要调整的部件数，求

X

的概率分布、数学期望

E (X)

和方差

D (X)

。

提示 1

引入示性变量

X_{i} \in {0, 1}

，

X = X_{1} + X_{2} + X_{3}

，各

X_{i}

独立。

提示 2

逐个算

P {X = 0}, P {X = 3}

（乘积），

P {X = 1}

三项相加，

P {X = 2}

用总和为 1 补。

提示 3

E (X) = \sum k P {X = k}

；独立时

D (X) = \sum p_{i} (1 - p_{i})

，最省事。

答案与详解

答案分布律 $X P 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006$ ； $E (X) = 0.6$ ， $D (X) = 0.46$ 。

思路（为什么这么做）

「若干独立部件中需调整的个数」→ 拆成示性变量之和

X = \sum X_{i}

。分布律逐值算，

D (X)

用独立性

\sum p_{i} (1 - p_{i})

。坑：

P {X = 1}

是三种「恰一个」情形之和，别漏项；

P {X = 2}

用归一化最快。

解答

本题考查独立随机变量之和的分布及其数字特征。 令

X_{i} = 1

表示第

i

个部件需调整、

X_{i} = 0

表示不需调整，则

X_{1} \sim B (1, 0.1), X_{2} \sim B (1, 0.2), X_{3} \sim B (1, 0.3)

且相互独立，

X = X_{1} + X_{2} + X_{3}

，取值

0, 1, 2, 3

。

P {X = 0} = 0.9 \times 0.8 \times 0.7 = 0.504

；

P {X = 3} = 0.1 \times 0.2 \times 0.3 = 0.006

；

P {X = 1} = 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.398

；

P {X = 2} = 1 - 0.504 - 0.398 - 0.006 = 0.092

。

E (X) = 0 \times 0.504 + 1 \times 0.398 + 2 \times 0.092 + 3 \times 0.006 = 0.6

。

D (X)

：由独立性

D (X) = \sum D (X_{i}) = 0.1 \cdot 0.9 + 0.2 \cdot 0.8 + 0.3 \cdot 0.7 = 0.46

（也可由

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 0.82 - 0.36 = 0.46

）。

考点：离散型随机变量及其分布律、数学期望、方差

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