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1992 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 7 分

假设测量的随机误差

X \sim N (0, 1 0^{2})

，试求

100

次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于

19.6

的概率

α

，并利用泊松分布求出

α

的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

附表：

e^{- 1} = 0.368, e^{- 2} = 0.135, e^{- 3} = 0.050, e^{- 4} = 0.018, e^{- 5} = 0.007, e^{- 6} = 0.002, e^{- 7} = 0.001, \dots

提示 1

先标准化

\frac{X}{10} \sim N (0, 1)

，

P {∣ X ∣ > 19.6} = 2 - 2Φ (1.96) = 0.05

。

提示 2

100

次里成功次数

Y \sim B (100, 0.05)

，用

λ = n p = 5

的泊松近似。

提示 3

P {Y \geq 3} = 1 - P {0} - P {1} - P {2} = 1 - e^{- 5} (1 + 5 + \frac{25}{2})

，查

e^{- 5} = 0.007

。

答案与详解

答案单次「误差绝对值 $> 19.6$ 」的概率 $p = 0.05$ ，所求 $α = P {Y ⩾ 3} \approx 0.87$ 。

思路（为什么这么做）

「

n

大

p

小、求至少几次」→ 二项

B (n, p)

用泊松

λ = n p

近似，

P {Y \geq 3}

取补

1 - P {0, 1, 2}

。坑：先用正态标准化把单次概率算成

p = 0.05

，

1.96

对应

Φ = 0.975

。

解答

本题考查正态分布标准化、二项分布及其泊松逼近。 先求一次测量中事件

A = {∣ X ∣ > 19.6}

的概率。

由

X \sim N (0, 1 0^{2})

得

\frac{X}{10} \sim N (0, 1)

，

p = P {∣ X ∣ > 19.6} = 1 - P {- 1.96 < \frac{X}{10} < 1.96} = 1 - [Φ (1.96) - Φ (- 1.96)] = 2 - 2Φ (1.96) = 2 - 2 \times 0.975 = 0.05

。

设

Y

为

100

次独立测量中

A

发生的次数，则

Y \sim B (100, 0.05)

。因

n

大

p

小，用参数

λ = n p = 5

的泊松分布近似。

α = P {Y ⩾ 3} = 1 - P {Y = 0} - P {Y = 1} - P {Y = 2} \approx 1 - e^{- 5} (\frac{5 ^{0}}{0 !} + \frac{5 ^{1}}{1 !} + \frac{5 ^{2}}{2 !}) = 1 - 0.007 \times 18.5 \approx 1 - 0.13 = 0.87

。

考点：常见离散分布（二项、泊松、几何等）、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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