1992 年考研数学（三） 第 19 题

判定分块对角阵是否正定 → 对称性 + 特征值全正（分块对角的谱是各块谱之并）。坑：正定的前提是对称，别忘先说明 $C^T=C$；也可用二次型 $z^{T}Cz=x^{T}Ax+y^{T}By$ 直接判。

本题考查正定矩阵的判定（对称性 + 特征值全正）。 先验对称性：由 $A^T=A,B^T=B$ 得 $C^T=\left(\begin{array}{cc}{A}^T& O\\ O& B^T\end{array}\right)=C$，$C$ 是对称矩阵。

设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$，$B$ 的特征值为 ${\mu }_1,\cdots ,{\mu }_n$。因 $A,B$ 正定，全部 ${\lambda }_i>0,{\mu }_j>0$。

由分块对角行列式 $|\lambda E-C|=|\lambda E-A|\cdot |\lambda E-B|$，知 $C$ 的特征值恰为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m,{\mu }_1,\cdots ,{\mu }_n$，它们全大于 $0$。

对称矩阵且特征值全正 $\Rightarrow C$ 正定。（也可直接验二次型：对任意 $z=(x^T,y^T{)}^T\ne 0$，$z^{T}Cz=x^{T}Ax+y^{T}By>0$。）故 $C$ 是正定矩阵。