1992 年考研数学（三） 第 18 题

「$B$ 的列都是 $AX=0$ 的解」→ 翻译成 $AB=O$，两把钥匙：$B\ne O$ 给 $|A|=0$；秩不等式 $r(A)+r(B)\le n$ 给 $r(B)$ 上界。坑：证 $|B|=0$ 要先说清 $r(A)\ge 2$（找两不成比例的行）。

本题考查 $AB=O$ 时的秩不等式与齐次方程组解的存在性。 记系数矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& -1& \lambda \\ 3& 1& -1\end{array}\right)$。因 $B$ 的每一列都是 $AX=0$ 的解，故 $AB=O$。

(1) $B\ne O$ 说明 $AX=0$ 有非零解，故 $r(A)<3$，即 $|A|=0$。计算 $|A|=-5+5\lambda =0$，解得 $\lambda =1$。

(2) 取 $\lambda =1$，$A$ 前两行 $(1,2,-2),(2,-1,1)$ 不成比例，故 $r(A)⩾2$。由 $AB=O$ 得 $r(A)+r(B)⩽3$（$n=3$），于是 $r(B)⩽3-r(A)⩽1<3$，从而 $B$ 不满秩，$|B|=0$。