1992 年考研数学（三） 第 17 题

「$A$ 与对角阵 $B$ 相似，求参数与 $P$」→ 特征值＝对角元，用 $|{\lambda }_{i}E-A|=0$ 与迹/行列式定参数，再求特征向量拼 $P$。坑：$P$ 各列的排列顺序必须与 $B$ 对角元一一对应。

本题考查相似矩阵的性质与实（可对角化）矩阵的对角化。 $B$ 是对角阵，故 $A$ 的特征值为 $-1,2,y$，与 $B$ 相同。

(1) $A,B$ 相似 $\Rightarrow$ 特征值相同、迹相同、行列式相同。$\lambda =-1$ 是 $A$ 的特征值，故 $|-E-A|=0$：计算得 $2(x+1)-2=0\Rightarrow x=0$。再由 $|A|=|B|$：$\det A=-2(x-2)=-2(0-2)=4$，$\det B=(-1)(2)(y)=-2y$，故 $-2y=4\Rightarrow y=-2$。

(2) 于是 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-2$。分别解 $({\lambda }_{i}E-A)\xi =0$：${\lambda }_1=-1$ 得 ${\alpha }_1=(0,-2,1{)}^T$；${\lambda }_2=2$ 得 ${\alpha }_2=(0,1,1{)}^T$；${\lambda }_3=-2$ 得 ${\alpha }_3=(-1,0,1{)}^T$。

按 $B$ 对角元顺序 $(-1,2,-2)$ 排列特征向量作列，得 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -2& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=B$。