1992 年考研数学（三） 第 16 题

「切线与坐标轴围成面积最大」→ 参数化切点为 $(a,f(a))$，写切线求两截距，面积作为 $a$ 的函数再求导取极值。坑：$S^{\prime }(a)=\frac{1}{2}(a+1)(1-a)e^{-a}$，在 $a\ge 0$ 上唯一极大点 $a=1$。

本题考查旋转体体积（几何应用）与用导数求面积最值。

(1) 绕 $x$ 轴旋转：$V(\xi )=\pi {\int }_0^{\xi }{\left(e^{-x}\right)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{\xi }{e}^{-2x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}\left(1-e^{-2\xi }\right)$。又 $\underset{\xi \to +\infty }{\lim }V(\xi )=\frac{\pi }{2}$。由 $V(a)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$，即 $\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})=\frac{\pi }{4}$，解得 $e^{-2a}=\frac{1}{2}$，$a=\frac{1}{2}\ln 2$。

(2) 设切点为 $(a,e^{-a})$，因 $y^{\prime }=-e^{-x}$，切线为 $y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a)$。令 $x=0$ 得纵截距 $y=e^{-a}(a+1)$；令 $y=0$ 得横截距 $x=a+1$。切线与两坐标轴围成直角三角形，面积 $S(a)=\frac{1}{2}(a+1)\cdot e^{-a}(a+1)=\frac{1}{2}(a+1{)}^2{e}^{-a}$。

求极值：$S^{\prime }(a)=\frac{1}{2}{e}^{-a}[2(a+1)-(a+1{)}^2]=\frac{1}{2}(a+1)(1-a)e^{-a}$。令 $S^{\prime }(a)=0$（$a⩾0$）得 $a=1$；且 $0<a<1$ 时 $S^{\prime }>0$，$a>1$ 时 $S^{\prime }<0$，故 $a=1$ 取最大。切点 $(1,e^{-1})$，最大面积 $S(1)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}$。