1992 年考研数学（三） 第 15 题

证恒等式（区间上）→ 令 $f=$左边$-$右边，证 $f^{\prime }\equiv 0$ 得常数，再取一个特殊点定值。坑：$x>1$ 时 $\sqrt{(1-x^2{)}^2}=x^2-1$（取正），符号别搞错。

本题考查用「导数恒为零 ⟹ 函数为常数」证明恒等式。 令 $f(x)=\arctan x-\frac{1}{2}\arccos \frac{2x}{1+x^2}$，在 $x>1$ 上求导。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2\sqrt{1-{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}^2}}\cdot \frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}$。由 $1-{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}^2=\frac{(1-x^2{)}^2}{(1+x^2{)}^2}$，$\sqrt{\cdot }=\frac{|1-x^2|}{1+x^2}=\frac{x^2-1}{1+x^2}$（$x>1$）。

代入化简：$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1+x^2}{2(x^2-1)}\cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$。

故当 $x>1$ 时 $f(x)\equiv C_0$（常数）；由连续性在 $x=1$ 也成立。取 $x=1$：$f(1)=\arctan 1-\frac{1}{2}\arccos 1=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}$。所以当 $x⩾1$ 时 $f(x)=\frac{\pi }{4}$，即原等式成立。