1992 年考研数学（三） 第 14 题

$f(x)+{\int }_0^{x}f=$已知函数 → 两边求导变一阶线性 ODE。坑：初始条件不用另找，直接在原积分方程令 $x=0$ 得 $f(0)$，用来定常数 $C$。

本题考查积分方程化为一阶线性微分方程求解。 两边对 $x$ 求导（变上限积分求导得 $2f(x)$）：$f^{\prime }(x)+2f(x)=2x$。

这是一阶线性方程，积分因子 $e^{\int 2\mathrm{d}x}=e^{2x}$：$f(x)=e^{-2x}\left(\int 2x{e}^{2x}\mathrm{d}x+C\right)=C{e}^{-2x}+x-\frac{1}{2}$。

定初值：在原方程令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。代入 $f(0)=C-\frac{1}{2}=0\Rightarrow C=\frac{1}{2}$。

故 $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-2x}+x-\frac{1}{2}$。