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1992 年考研数学（三）第 13 题

解答题 · 5 分

设

z = sin (x y) + φ (x, \frac{x}{y})

，其中

φ

二阶连续可偏导，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

提示 1

设中间变量

u = x, v = \frac{x}{y}

，先对

x

：

z_{x} = y cos (x y) + φ_{1}^{'} + \frac{1}{y} φ_{2}^{'}

（

v

对

x

的偏导为

\frac{1}{y}

）。

提示 2

再对

y

时，

φ_{1}^{'}, φ_{2}^{'}

里

v = \frac{x}{y}

对

y

的偏导是

- \frac{x}{y ^{2}}

，

u = x

对

y

为

0

。

提示 3

别忘了

\frac{1}{y} φ_{2}^{'}

求导要用乘积法则，产生

- \frac{1}{y ^{2}} φ_{2}^{'}

这一项。

答案与详解

答案 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = cos (x y) - x y sin (x y) - \frac{x}{y ^{2}} φ_{12}^{''} - \frac{1}{y ^{2}} φ_{2}^{'} - \frac{x}{y ^{3}} φ_{22}^{''}$

思路（为什么这么做）

抽象复合

φ (x, x / y)

求混合偏导 → 先设中间变量、一阶导写清

φ_{1}^{'}, φ_{2}^{'}

，再逐项对

y

求导。坑：

\frac{1}{y} φ_{2}^{'}

要用乘积法则多出

- \frac{1}{y ^{2}} φ_{2}^{'}

；每个

φ^{'}

求导都要再乘

v_{y} = - \frac{x}{y ^{2}}

。

解答

本题考查多元复合函数求偏导（记号 $φ_{1}^{'}, φ_{2}^{'}$ 表示对第 1、2 个中间变量的偏导）。 记

u = x, v = \frac{x}{y}

，则

φ = φ (u, v)

。

先求

\frac{\partial z}{\partial x}

：

\frac{\partial z}{\partial x} = y cos (x y) + φ_{1}^{'} \cdot 1 + φ_{2}^{'} \cdot \frac{1}{y} = y cos (x y) + φ_{1}^{'} + \frac{1}{y} φ_{2}^{'}

。

再对

y

求偏导，注意

φ_{1}^{'}, φ_{2}^{'}

仍是

(x, \frac{x}{y})

的复合函数，且

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{y}) = - \frac{x}{y ^{2}}

：

\frac{\partial}{\partial y} [y cos (x y)] = cos (x y) - x y sin (x y)

；

\frac{\partial φ _{1}^{'}}{\partial y} = φ_{12}^{''} (- \frac{x}{y ^{2}})

；

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{y} φ_{2}^{'}) = - \frac{1}{y ^{2}} φ_{2}^{'} + \frac{1}{y} φ_{22}^{''} (- \frac{x}{y ^{2}})

。

合并得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = cos (x y) - x y sin (x y) - \frac{x}{y ^{2}} φ_{12}^{''} - \frac{1}{y ^{2}} φ_{2}^{'} - \frac{x}{y ^{3}} φ_{22}^{''}

。

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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