1992 年考研数学（三）第 12 题

解答题 · 5 分

计算

I = \int \frac{arccot e ^{x}}{e ^{x}} d x

。

提示 1

把

\frac{1}{e ^{x}} d x

凑成

- d (e^{- x})

，用分部积分让

arccot e^{x}

去求导。

提示 2

(arccot e^{x})^{'} = - \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}}

，代入后剩下

- \int \frac{d x}{1 + e ^{2 x}}

。

提示 3

\frac{1}{1 + e ^{2 x}} = 1 - \frac{e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}}

，逐项积分得

x - \frac{1}{2} ln (1 + e^{2 x})

。

答案与详解

答案 $I = - \frac{arccot e ^{x}}{e ^{x}} - x + \frac{1}{2} ln (1 + e^{2 x}) + C$

思路（为什么这么做）

被积含

arccot e^{x}

（反三角）乘

e^{- x}

→ 分部积分，

\frac{1}{e ^{x}} d x = - d (e^{- x})

。坑：余下的

\int \frac{d x}{1 + e ^{2 x}}

用

1 - \frac{e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}}

拆开，别硬换元。

解答

本题考查不定积分的分部积分法。 注意

\frac{1}{e ^{x}} d x = - d (e^{- x})

，把

arccot e^{x}

留作被求导因子。

I = - \int arccot e^{x} d (e^{- x}) = - \frac{arccot e ^{x}}{e ^{x}} + \int e^{- x} d (arccot e^{x})

。而

d (arccot e^{x}) = - \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} d x

，故第二项

= - \int \frac{1}{1 + e ^{2 x}} d x

。

对

\int \frac{d x}{1 + e ^{2 x}} = \int (1 - \frac{e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}}) d x = x - \frac{1}{2} ln (1 + e^{2 x})

。

合并得

I = - \frac{arccot e ^{x}}{e ^{x}} - x + \frac{1}{2} ln (1 + e^{2 x}) + C

。

1992 年考研数学（三） 第 12 题