1992 年考研数学（三） 第 22 题

二维密度求边缘/区域概率 → 边缘对另一变量积分（限由支撑给）；区域概率把支撑与约束求交再累次积分。坑：支撑 $0<x<y$ 与 $x+y\le 1$ 相交得 $x<\frac{1}{2}$，上限 $y$ 从 $x$ 到 $1-x$，别只写常数限。

本题考查二维连续型随机变量求边缘密度与区域概率。

(1) $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$。当 $x⩽0$ 时 $f_X(x)=0$；当 $x>0$ 时，非零区域为 $y>x$，$f_X(x)={\int }_x^{+\infty }{e}^{-y}\mathrm{d}y=e^{-x}$。故 $f_X(x)=e^{-x}(x>0)$，其余为 $0$。

(2) 密度非零区域为 $0<x<y$。与 $\{x+y⩽1\}$ 求交：需 $x<y$ 且 $x+y⩽1$，得 $0<x<\frac{1}{2}$，$x<y⩽1-x$。

$P\{X+Y⩽1\}={\int }_0^{1/2}\mathrm{d}x{\int }_x^{1-x}{e}^{-y}\mathrm{d}y={\int }_0^{1/2}\left(e^{-x}-e^{x-1}\right)\mathrm{d}x=[-e^{-x}-e^{x-1}{]}_0^{1/2}=1+e^{-1}-2e^{-1/2}$。