1991 年考研数学（三） 第 17 题

「$\mathbf{\beta }$ 能否由向量组线性表示 + 是否唯一」→ 转成 $Ax=\mathbf{\beta }$，比较 $r(A)$ 与 $r(\bar{A})$：相等且 $=n$ 唯一、相等 $<n$ 无穷多、不等则无解。坑：$|A|=0$ 要按不同 $\lambda$ 分别算秩。

本题考查向量的线性表示 $⟺$ 非齐次方程组 $x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+x_3{\mathbf{\alpha }}_3=\mathbf{\beta }$ 解的存在唯一性。 记 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$，计算 $|A|=(\lambda +3){\lambda }^2$。

(1) 当 $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \ne -3$ 时 $|A|\ne 0$，方程组有唯一解，$\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 唯一线性表示。

(2) 当 $\lambda =0$ 时，${\mathbf{\alpha }}_i$ 全为 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，$\mathbf{\beta }=0$，$r(A)=r(\bar{A})=1<3$，有无穷多解，$\mathbf{\beta }$ 可表示但不唯一。

(3) 当 $\lambda =-3$ 时，对 $\bar{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3\mid \mathbf{\beta })$ 作行变换化为 $\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& -3\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 6\end{array}\right)$，$r(A)=2\ne r(\bar{A})=3$，方程组无解，$\mathbf{\beta }$ 不可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示。