1991 年考研数学（三） 第 18 题

判二次型正定求参数 → 写对称矩阵，令三阶顺序主子式全正取交集。坑：非对角元是交叉项系数的一半（如 $2\lambda x_1{x}_2\Rightarrow a_{12}=\lambda$）；结果 $-2<\lambda <1$。

本题考查二次型正定的判定（顺序主子式全大于 0）。 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda & -1\\ \lambda & 4& 2\\ -1& 2& 4\end{array}\right)$（非对角元取交叉项系数的一半）。

$f=X^{\mathrm{T}}AX$ 正定 $⟺$ 三个顺序主子式都 $>0$：$1>0$（恒成立）；$\left|\begin{array}{cc}1& \lambda \\ \lambda & 4\end{array}\right|=4-{\lambda }^2>0\Rightarrow -2<\lambda <2$；

$|A|=-4(\lambda +2)(\lambda -1)>0\Rightarrow -2<\lambda <1$。取交集得 $-2<\lambda <1$。