1991 年考研数学（三）第 16 题

解答题 · 6 分

试证明函数

f (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x}

在区间

(0, + \infty)

内单调增加.

提示 1

幂指函数先写成

f = e^{x l n (1 + 1/ x)}

再求导。

提示 2

f^{'} = f \cdot g (x)

，

g (x) = ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}

，关键证

g > 0

。

提示 3

对

g

再求导：

g^{'} < 0

且

g (+ \infty) = 0

⇒

g > 0

。

答案与详解

答案证毕： $f^{'} (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x} [ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}] > 0 (x > 0)$ ，故 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调增加

思路（为什么这么做）

证

(1 + 1/ x)^{x}

单调 → 取对数求导，符号取决于

g (x) = ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}

；再对

g

用「单减 + 极限为 0」证

g > 0

。坑：

f^{'}

里方括号需单独设

g

二次求导定号。

解答

本题考查用导数证明单调性（幂指函数取对数求导）。 写

f (x) = e^{x l n (1 + 1/ x)}

。

求导

f^{'} (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x} [ln (1 + \frac{1}{x}) + x \cdot \frac{1}{1 + 1/ x} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}})] = (1 + \frac{1}{x})^{x} [ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}]

。

记

g (x) = ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}

，则

g^{'} (x) = \frac{- 1}{x ( 1 + x ) ^{2}} < 0 (x > 0)

，故

g

在

(0, + \infty)

单调减少；又

x \to + \infty lim g (x) = 0

，所以

x > 0

时

g (x) > 0

。

于是

f^{'} (x) > 0

，即

f (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x}

在

(0, + \infty)

内单调增加。证毕。

1991 年考研数学（三） 第 16 题